固有値・固有ベクトルと対角化

まず、固有値・固有ベクトルの定義を確認する。

$A = { \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} }$ 、$\vec{x}={ \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} }$、$\lambda$は実数とする。

ここで、上の式が成り立つとき、$\lambda$を固有値、$\vec{x}$を固有ベクトルという。

この式が何を意味しているのか図解する。

具体的な例として、$A= {\begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & 2 \end{pmatrix}}$、$\vec{x}= {\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}}$の場合を考える。 $A\vec{x}={ {\begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & 2 \end{pmatrix}} } {\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}}={ \begin{pmatrix} 3\times{1}+2\times{1}\\ 1\times{1}+2\times{1} \end{pmatrix}}={ \begin{pmatrix} 5\\ 3 \end{pmatrix}}$である。 以下に$\vec{x}$と$A\vec{x}$のベクトルを示す。

グラフにおいて、$\overrightarrow{AB}=\vec{x}={ \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix} }$、$\overrightarrow{AC}=A\vec{x}={ \begin{pmatrix} 5\\ 3 \end{pmatrix} }$

次に、$A={ \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & 4 \end{pmatrix} }$の場合を考える。 $A\vec{x}={ {\begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & 4 \end{pmatrix}} } {\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}}={ \begin{pmatrix} 2\times{1}+3\times{1}\\ 1\times{1}+4\times{1} \end{pmatrix}}={ \begin{pmatrix} 5\\ 5 \end{pmatrix}}$

以下に$\vec{x}$と$A\vec{x}$のベクトルを示す。

グラフにおいて、$\overrightarrow{AB}=\vec{x}={ \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix} }$、$\overrightarrow{AC}=A\vec{x}={ \begin{pmatrix} 5\\ 5 \end{pmatrix} }$

ここで、$A= {\begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & 2 \end{pmatrix}}$のときとは違い、次が成り立つ。

この時の$5$が$A$の固有値$\lambda$である。

すなわち固有値$\lambda$とは、あるベクトル$\vec{x}$に行列$A$をかけたときに、元のベクトルの何倍になったかを表す値である。