mm桁のAA進数α\alphaは、 α=∑k=0m−1akAk,ak=⌊αAk⌋ mod Aより\alpha = \sum_{k=0}^{m-1} a_k A^k, \quad a_k = \left\lfloor \frac{\alpha}{A^k} \right\rfloor \bmod Aより α=∑k=0m−1(⌊αAk⌋ mod A)⋅Ak\alpha = \sum_{k=0}^{m-1} \left( \left\lfloor \frac{\alpha}{A^k} \right\rfloor \bmod A \right) \cdot A^k と表される。 同様に、nn桁のBB進数β\betaは、 β=∑k=0n−1(⌊βBk⌋ mod B)⋅Bk\beta = \sum_{k=0}^{n-1} \left( \left\lfloor \frac{\beta}{B^k} \right\rfloor \bmod B \right) \cdot B^k と表される。 値は等しいので、 ∑k=0m−1(⌊αAk⌋ mod A)⋅Ak=∑k=0n−1(⌊βBk⌋ mod B)⋅Bk=α\sum_{k=0}^{m-1} \left( \left\lfloor \frac{\alpha}{A^k} \right\rfloor \bmod A \right) \cdot A^k = \sum_{k=0}^{n-1} \left( \left\lfloor \frac{\beta}{B^k} \right\rfloor \bmod B \right) \cdot B^k = \alpha よって α=∑k=0n−1bkBk\alpha = \sum_{k=0}^{n-1} b_k B^k kkを改めてjjに置き換えると、 α=∑j=0n−1bjBj\alpha = \sum_{j=0}^{n-1} b_j B^j ∀k∈{0,1,…,n−1}\forall k \in \{0, 1, \dots, n-1\} について、右辺をBkB^kで括ると、 α=Bk⋅∑j=0n−1bjBj−k\alpha = B^k \cdot \sum_{j=0}^{n-1} b_j B^{j-k} 両辺をBkB^kで割ると、 αBk=∑j=0n−1bjBj−k=∑j=0k−1bjBj−k+∑j=kn−1bjBj−k\frac{\alpha}{B^k} = \sum_{j=0}^{n-1} b_j B^{j-k} = \sum_{j=0}^{k-1} b_j B^{j-k} + \sum_{j=k}^{n-1} b_j B^{j-k} この値を床関数で切り捨てると、 ⌊αBk⌋=⌊∑j=0k−1bjBj−k+∑j=kn−1bjBj−k⌋=0+∑j=kn−1bjBj−k\left\lfloor \frac{\alpha}{B^k} \right\rfloor = \left\lfloor \sum_{j=0}^{k-1} b_j B^{j-k} + \sum_{j=k}^{n-1} b_j B^{j-k} \right\rfloor = 0 + \sum_{j=k}^{n-1} b_j B^{j-k} ただし bjBj−kb_j B^{j-k} は BB の倍数なので、右辺に mod B\bmod B を作用させると、 ⌊αBk⌋ mod B=(∑j=kn−1bjBj−k) mod B=bk\left\lfloor \frac{\alpha}{B^k} \right\rfloor \bmod B = \left( \sum_{j=k}^{n-1} b_j B^{j-k} \right) \bmod B = b_k したがって、BB進数における各桁 bkb_k の計算公式は、 bk=⌊αBk⌋ mod B\boxed{b_k = \left\lfloor \frac{\alpha}{B^k} \right\rfloor \bmod B}